“Trong lịch sử khoa học Định lý Bất toàn của Gödel xứng đáng được xếp ngang hàng với Thuyết tương đối của Einstein và Nguyên lý Bất định của Heisenberg”. Đây là nhận xết của tác giả Siobhan Roberts trong một bài báo rất hay với nhan đề “Chờ đợi Gödel”, đăng trên The New Yorker ngày 29/06/2017.

Blaise Pascal, một trong những nhà toán học và triết học vĩ đại nhất mọi thời đại, ngay từ thế kỷ 17 đã nói: “Pensée fait la grandeur de l’homme” (Tư tưởng tạo nên tầm vóc con người). Tư tưởng của Định lý Bất toàn làm cho Kurt Gödel có tầm vóc vĩ đại ngang với Albert Einstein và Werner Heisenberg. Đó là điều được nhấn mạnh trong bài báo “Waiting for Gödel”, ra mắt trong dịp kỷ niệm 100 năm ngày sinh của Kurt Gödel. Sau đây là bản lược dịch những phần chủ yếu của bài báo.

Waiting for Gödel / Chờ đợi Gödel

Siobhan Roberts, The New Yorker, 29/06/2016

Tháng 06/1965, Văn phòng Thư ký Báo chí Nhà Trắng thông báo Tổng thống Gerald Ford đã quyết định tặng thưởng Huân chương Quốc gia (Mỹ) về Khoa học cho Kurt Gödel, nhà toán học và logic học người Mỹ gốc Áo. Mang biệt danh là Mr. Why do cha mẹ đặt cho, Gödel còn được biết với cái tên viết tắt là God.

Dường như Einstein không tìm thấy ai hiểu mình hơn Gödel, đến nỗi có lần ông nói với mọi người rằng ông đến văn phòng của ông trong Đại học Princeton “chỉ để có cái đặc ân được cùng đi bộ với Gödel về nhà”.

Ông nhận được thư của người hâm mộ từ khắp nơi trên thế giới. Những thư từ này hiện được xếp vào các ngăn hồ sơ lưu trữ, bao gồm thư “xin chữ ký”, “câu hỏi của sinh viên và những nhà nghiên cứu nghiệp dư”, “thư cảm ơn” và “thư từ trao đổi”… Một người ở Tây Bengal tự mô tả mình là “một kẻ dốt đặc về toán” viết rằng anh ta đang tìm kiếm “Đại sư phụ Gödel”. Một nữ giáo viên dạy toán ở California cho biết cô đã phóng to một bức ảnh của Gödel để tạo ra một tấm áp phích treo ngay trong lớp của cô. Cuối cùng, Gödel được so sánh không chỉ với người bạn Albert Einstein mà còn với Franz Kafka (một nhà văn lớn viết truyện ngắn và tiểu thuyết bằng tiếng Đức, được giới phê bình xem như một trong những tác giả có ảnh hưởng lớn nhất trong thế kỉ 20, ND). Đó là ảnh hưởng từ những đóng góp của ông ─ mặc dù những đóng góp ấy chỉ bao gồm một số định lý, nhưng tất cả đều là những định lý vĩ đại, hoành tráng và kỳ diệu.

Kiệt tác của Gödel là Định lý Bất toàn (Theorem of Incompleteness). Trong lịch sử khoa học, định lý này được xếp ngang hàng với Thuyết Tương đối của Einstein và Nguyên lý Bất định của Heisenberg.

Được công bố ở Vienna vào đầu những năm 1930, khái niệm bất toàn đã ném toán học vào một phòng gương, nơi toán học phản chiếu bản thân nó với hy vọng tìm thấy sự hoàn mỹ, nhưng Định lý Bất toàn đã chứng minh bằng toán học rằng toán học không thể chứng minh tất cả mọi thứ của toán học.

Dĩ nhiên là định lý này có một sự trình bày đúng đắn và chính xác về mặt kỹ thuật, nhưng Verena Huber-Dyson đã giải thích nó cho tôi như sau:

“Có nhiều sự thật hơn những gì có thể nắm bắt bằng chứng minh”.

Hoặc như nhà văn người Anh Zia Haider Rahman đã viết trong phần mở đầu tác phẩm từng đoạt giải thưởng của mình, “In the Light of What We Know,” (Dưới ánh sáng của những gì chúng ta biết), rằng

“Trong bất kỳ hệ thống nào đã biết, có những mệnh đề đúng nhưng không thể chứng minh là đúng”.

Vì vậy, mặc dù Gödel công bố các kết quả của mình cách đây đã 85 năm, định lý này vẫn tiếp tục kích thích tư duy của mọi người. Trong tháng này (của năm 2016, ND), một nhóm hậu bối say mê lý thuyết của Gödel nhóm họp vào các buổi tối Thứ Năm để tham dự một khóa học đột xuất về Định lý Bất toàn, nằm trong lịch trình của Viện Nghiên cứu Xã hội Brooklyn. Một giáo trình đề cương mang tên “Gödel Without (Too Many) Tears” (Học Định lý Gödel không mất quá nhiều công sức) đã được thông báo cùng với tài liệu đọc bổ sung vén mở công trình của ông bằng những từ ngữ đơn giản.

Theo tài liệu “Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse,” (Một hướng dẫn không đầy đủ về việc sử dụng và lạm dụng Định lý Gödel) cho biết, nhiều ý kiến diễn giải muôn hình muôn vẻ đã xuất hiện trong các cuộc thảo luận về toán học, triết học, khoa học computer, và trí tuệ nhân tạo, đúng như người ta đã dự kiến, nhưng đồng thời cũng xuất hiện nhiều suy tưởng xung quanh các lĩnh vực vật lý, thuyết tiến hóa, tôn giáo, thuyết vô thần, thơ ca, chính trị và thậm chí cả hiến pháp.

Có một câu chuyện nổi tiếng được truyền tụng, ấy là một sự kiện trong buổi lễ Gödel điều trần để chính thức trở thành công dân Hoa Kỳ. Tại đây, Gödel đã thông báo cho vị giám khảo (đại diện chính quyền, ND) biết rằng ông đã khám phá ra tính không nhất quán (inconsistency) trong Hiến Pháp Hoa Kỳ, và điều ấy có thể tạo ra nguy cơ xuất hiện một nhà độc tài ở Mỹ. (Tưởng cũng nên nhắc lại rằng tính không nhất quán của hệ tiên đề toán học là một khám phá rất bất ngờ của Gödel, làm tiêu tan hy vọng của giới toán học đầu thế kỷ 20 hòng tìm thấy thiên đường toán học với những chân lý toán học tuyệt đối phi mâu thuẫn. Cụ thể: Định lý Gödel khẳng định không thể dùng toán học để chứng minh tính nhất quán của hệ tiên đề của toán học, ND)

Trong lịch sử khoa học, định lý Bất toàn của Godel được xếp ngang hàng với Thuyết Tương đối của Einstein và Nguyên lý Bất định của Heisenberg.

Các sinh viên trong lớp học về Định lý Bất toàn tại Brooklyn Commons vào các buổi tối Thứ Năm nói trên, bao gồm một nhà khoa học computer bị ám ảnh bởi phép đệ quy (nghĩa là những phép toán tự quy chiếu, lặp đi lặp lại, giống như những con búp bê Nga Matrioshka, hoặc những bức tranh của Escher vẽ một bàn tay đang vẽ chính nó)… và một giáo viên trường tư đã trải qua một mùa đông cô đơn, đang thay đổi cuộc sống nhờ việc đọc cuốn “Gödel, Escher, Bach” của Douglas Hofstadter, người đã đoạt giải Pulitzer năm 1980.

Ngay cả Hofstadter, giáo sư về khoa học nhận thức tại Đại học Indiana, vẫn tiếp tục suy nghĩ về Gödel. Gần đây, ông đã có hai cuộc nói chuyện về Gödel, trong đó ông nhận định Gödel là “Nhà phát minh thực sự của ngôn ngữ lập trình và các cấu trúc dữ liệu”. Khi tôi hỏi Hofstadter về khoá học nói trên, một khóa học vào tối Thứ Năm không thuận lợi lắm với mọi người, ông cho biết: “Đó là một lớp học khá thú vị”.

Tổng cộng có tám người đăng ký tham gia lớp học, một con số thú vị, vì số 8 quay 90 độ thành số vô hạn ∞. Theo một cách nào đó, mọi sự rắc rối trong toán học bắt đầu từ một giai đoạn huyền ảo trong lịch sử toán học – giai đoạn cuối thế kỷ 19, khi nhà toán học người Đức Georg Cantor đưa ra những khảo cứu về những kích cỡ khác nhau của khái niệm vô hạn, từ đó phát minh ra Lý thuyết tập hợp, một lý thuyết đã trở thành một mô hình tổng quát của toán học.

Cantor nói: “Một tập hợp là một Cái Nhiều (Many) tự cho phép nó được xem như một Cái Một” (ý nói một tập hợp gồm nhiều phần tử có thể được xem như Một đối tượng toán học, ND). Tuy nhiên, từ các lĩnh vực logic lân cận, nghịch lý đã xuất hiện, chẳng hạn như Tập hợp Russell ─ tập hợp của tất cả các tập hợp không chứa chính nó [ Tập hợp Russell dẫn tới Nghịch lý Russell, tức Nghịch lý tập hợp, đẩy toán học vào tình trạng khốn quẫn, buộc các nhà toán học phải xét lại toàn bộ nền tảng của toán học, đặc biệt là xét lại hệ tiên đề của toán học. Để hiểu rõ vấn đề này, xin đọc ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN (3): LỜI SÁM HỐI của một nhà toán học hình thức, đã đăng trên Khoa học & Tổ quốc Tháng 05/2009, chú thích của ND ]

Đầu thế kỷ 20, Bertrand Russell và Alfred North Whitehead với cuốn Principia Mathematica, và David Hilbert với “Chương trình Hilbert” đã cố gắng xây dựng một nền tảng vững chắc cho toán học bằng cách tạo ra một hệ thống toán học hình thức dựa trên các tiên đề và các quy tắc suy diễn logic. Nhưng Gödel, với Định lý Bất toàn của mình (thực ra là hai định lý), đã chấm dứt những giấc mơ này. Ông đã chứng minh rằng:

Đối với bất kỳ một hệ tiên đề hình thức nào đủ mạnh để có thể biểu diễn thông qua số học:

– Tồn tại những mệnh đề đúng nhưng không thể chứng minh bên trong hệ đó

– Tính nhất quán của hệ không thể chứng minh được bên trong hệ đó.

Một thách đố chăng? Russell thừa nhận điều tương tự. Ông băn khoăn: “Phải chăng chúng ta nghĩ rằng 2 + 2 không bằng 4, mà bằng 4,001”…….

Peter O’Hearn, giám đốc kỹ thuật của Facebook và giáo sư tại Đại học College London, người đồng nhận giải Gödel năm nay (2016) cùng với một đồng nghiệp, Stephen Brookes, vì đã phát minh ra phương pháp logic phân ly đồng quy (concurrent separation logic), một hệ thống chứng minh mang tính cách mạng đối với phần mềm của máy tính. Ông nói với tôi: “Định lý Gödel có ảnh hưởng lớn đến những gì các nhà khoa học máy tính đang làm. Nó đặt ra một giới hạn cơ bản cho các câu hỏi chúng ta có thể trả lời bằng máy tính. Nó bảo chúng ta thực hiện phương pháp xấp xỉ ─ những lời giải xấp xỉ tốt hơn, giúp chúng ta tìm ra những câu trả lời đúng, nhưng không phải tất cả các câu trả lời đúng. Đó là một điều tích cực, bởi vì nó làm cho tôi không cố gắng làm những điều ngu ngốc, không cố gắng làm những điều bất khả” [ Chẳng hạn, áp dụng tràn lan chủ nghĩa hình thức vào giáo dục là một điều NGU NGỐC. Đó là trào lưu Toán học Mới ở tây phương từ những năm cuối 1950 đến những năm đầu 1970, hiện vẫn còn tồn tại trong những nền giáo dục lạc hậu. Chú thích của ND ].

Bình luận của tác giả

Bình Luận 1: Bài báo “Waiting for Gödel” hoàn toàn nhất quán với những nội dung về Định lý Gödel đã được trình bày trong Hội thảo “Tác động của Định lý Gödel đối với khoa học và triết học nhận thức”, ngày 18/10/2017 tại Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn Hà-nội. Độc giả có thể kiểm nghiệm lại điều này qua videos hội thảo

Bình Luận 2: Tương tự như nội dung đã được nhấn mạnh trong Hội thảo nói trên, bài báo “Waiting for Gödel” cũng chỉ ra rằng Định lý Bất toàn không chỉ có ảnh hưởng lớn đối với toán học, triết học, khoa học computer, và trí tuệ nhân tạo, mà còn tác động sâu xa tới vật lý, thuyết tiến hóa, tôn giáo, thuyết vô thần, thơ ca, chính trị và thậm chí cả hiến pháp. Trong đó, điều ngạc nhiên rất thú vị (a very nice surprise) là ảnh hưởng của Định lý Gödel đối với Thuyết tiến hóa, cụ thể là dùng Định lý Gödel để phán xét Thuyết tiến hóa, điều này làm cho các nhà tiến hóa bị bất ngờ và rất khó chịu, nhưng là một hệ quả triết học tất yếu của Định lý Gödel. Rất tiếc là bài báo trên không cung cấp chi tiết về vấn đề này. Nhưng tôi tin rằng tất cả những ai không tin Thuyết tiến hóa đều dễ dàng gặp nhau về tư tưởng để nhận định rằng Định lý Gödel tự động bác bỏ Thuyết tiến hóa.

Bình Luận 3: Bất kỳ ai hiểu rõ ý nghĩa vô cùng trọng đại của Thuyết tương đối của Einstein và Nguyên lý Bất định của Heisenberg đối với triết học nhận thức thì cũng phải hiểu rõ ý nghĩa tương tự của Định lý Bất toàn của Gödel. Điều rất thú vị đáng suy ngẫm là ở chỗ Albert Einstein, bộ óc thiên tài bậc nhất của nhân loại, mặc dù không tin vào tính bất định của tự nhiên nhưng lại tin vào bản chất hạn chế của nhận thức logic. Ông tuyên bố: “I don’t believe in Mathematics” (Tôi không tin vào Toán học). Không biết những đầu óc khoa học ngây thơ phản ứng ra sao trước tuyên bố đó của Einstein? Phải chăng Einstein tuyên bố như thế sau khi thấm nhuần Định lý Gödel? Tôi không rõ tuyên bố đó ra đời trong bối cảnh nào, nhưng có thể đoan chắc rằng Einstein chịu ảnh hưởng nhiều bởi Gödel, vì ông “đến viện nghiên cứu chỉ cốt được đi bộ về nhà cùng Gödel”.

Tất nhiên Gödel cũng chịu ảnh hưởng bởi Einstein. Thật vậy, từ Thuyết tương đối tổng quát, Gödel đã tìm thấy một hệ quả dị thường, tiên đoán sự tồn tại của một vũ trụ quay tròn, trong đó thời gian có thể trôi ngược. Đến nay, chưa có ai tìm thấy bất cứ một lỗi nào trong suy diễn toán học của Gödel trong công trình dị thường này. Thậm chí công trình này của Gödel còn được xem như một ủng hộ đối với lý thuyết “Chiếc máy Thời gian” (The Time Machine), trong đó cho rằng có thể tạo ra một chiếc máy thời gian, về mặt lý thuyết, có thể đi tới bất kỳ thời điểm nào trong quá khứ hoặc tương lai.

Bình luận 4: Như bài báo trên cho biết, Douglas Hofstadter, Giáo sư Đại học Indiana, một trong những nhà khoa học về nhận thức xuất sắc nhất hiện nay, tác giả cuốn sách khổng lồ “Gödel, Escher, Bach”, cho chúng ta biết rằng với phương pháp chứng minh định lý của mình, Gödel đồng thời còn xứng đáng được xem như “Nhà phát minh thực sự của ngôn ngữ lập trình và các cấu trúc dữ liệu”. Nói ngắn gọn, Gödel là Ông Tổ của ngôn ngữ lập trình hiện đại. Thiết tưởng chỉ riêng điều này cũng đã đủ để tôn ông lên bậc những nhà khoa học vĩ đại nhất mọi thời đại, đơn giản vì không có ngôn ngữ lập trình thì không có công nghệ hiện đại.

Gödel là Ông Tổ của ngôn ngữ lập trình hiện đại.

Bình Luận 5: Trong Hội thảo ngày 18/10/2017 tại Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn Hà-nội, một đại biểu đã thắc mắc về chứng minh của Định lý Gödel, rằng không biết chứng minh này dựa trên nền tảng nào, liệu nền tảng ấy có đáng tin cậy không. Điều này đáng được thông cảm, vì nhiều người đến hôm nay dường như vẫn không hay biết gì về Gödel và Định lý Bất toàn.

Thậm chí, một GSTS toán học đã gọi điện cho tôi, hỏi: “Cái gọi là Định lý Gödel thực chất là tiên đề hay định lý?”. Tôi lễ phép thưa: “Dạ, đó là định lý”. GSTS đó lại hỏi: “Định lý ấy đã được chứng minh chưa?”. Thú thật là tôi bị shock với câu hỏi đó, nhưng vẫn phải trả lời: “Dạ thưa, đó là một định lý đã được chứng minh một cách hoàn hảo bằng toán học. Ông có cần tôi cung cấp tài liệu không?”…

Hôm nay, như độc giả đã thấy, bài báo “Waiting for Gödel” cũng không cung cấp cho chúng ta thông tin nào về việc chứng minh Định lý Gödel (có lẽ các nhà báo thấy điều này là không cần thiết, vì chứng minh đã được trình bày đầy đủ trong các tài liệu chuyên môn và đã được cộng đồng toán học thế giới thừa nhận từ lâu rồi. Ai cần tìm hiểu kỹ thì chỉ cần chịu khó đọc và suy ngẫm về các tài liệu chuyên môn đó, thay vì phải hỏi các nhà báo). Tuy nhiên, với tình hình thực tế như tôi vừa kể ở trên, rằng có nhiều người thắc mắc trực tiếp với tôi về việc chứng minh định lý này, vì thế tôi không thể không giúp đỡ họ. Vậy xin cung cấp vài thông tin bổ ích dưới đây, và xin có đôi lời giải thích việc chứng minh định lý, mặc dù rất sơ lược nhưng là thiết yếu để hiểu Định lý Gödel:

  • Kiệt tác của Kurt Gödel là tác phẩm được xuất bản lần đầu tiên năm 1931, nguyên bản tiếng Đức là “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme”, đã được dịch ra tiếng Anh là “On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems” (Về những mệnh đề không thể quyết định được một cách hình thức của Nguyên lý Toán học và những hệ liên quan), trong đó chứa đựng toàn bộ phát biểu và chứng minh của Định lý Bất toàn (Theorem of Incompleteness). Ai muốn tìm hiểu sâu định lý này về mặt chứng minh toán học, nhất thiết phải/nên đọc tác phẩm đó.
  • Trong một lần gặp gỡ tại một Hội thảo minh triết năm 2009 ở Hà-nội, Giáo sư Phan Đình Diệu nói với tôi rằng ông đã trình bày chứng minh Định lý Gödel trong một cuốn sách xuất bản bằng tiếng Việt. Vậy ai cần chứng minh bằng tiếng Việt, xin hãy liên lạc với GS Phan Đình Diệu.
  • Trong cuốn “Từ Xác định đến Bất định” của David Peat, dịch giả Phạm Việt Hưng, NXB Tri thức, 2011, toàn bộ Chương II được dành cho Định lý Bất toàn, Phụ lục I (của tác giả) dành cho việc giải thích tóm lược chứng minh định lý, Phụ lục II (của dịch giả) bao gồm những thảo luận bổ sung nhằm làm sáng tỏ thêm ý nghĩa khoa học và triết học của định lý.

  • Trong cuốn “Định lý cuối cùng của Fermat” của Simon Singh, dịch giả Phạm Văn Thiều và Phạm Việt Hưng, NXB Trẻ 2004, Chương IV, “Đi vào trừu tượng”, cung cấp những hiểu biết cốt lõi về Định lý Gödel, trong đó cũng nói sơ qua ý tưởng chứng minh của Gödel.
  • Sau đây là tóm tắt tư tưởng và phương pháp chứng minh Định lý Gödel dưới dạng ngắn gọn nhất:

Trước hết, Gödel nêu lên một mệnh đề tự quy chiếu (self-referential), tức mệnh đề tự mình phán xét mình, cụ thể mệnh đề của Gödel là:

Gọi mệnh đề trên của Gödel là G. Nếu G có thể chứng minh được thì G sai (mâu thuẫn). Nếu G không thể chứng minh được thì G đúng, có nghĩa là tồn tại một mệnh đề đúng nhưng không thể chứng minh được. Tóm lại, tồn tại những mệnh đề hoặc mâu thuẫn, hoặc không thể chứng minh được.

Tiếp theo, bằng một nghệ thuật phiên dịch thiên tài, trong đó Gödel tạo ra những phép tương ứng giữa các chữ cái và từ ngữ của ngôn ngữ thông thường với các đơn vị từ ngữ và ký hiệu hình thức của logic toán học, ông đã chuyển mệnh đề tự quy chiếu nói trên thành một mệnh đề logic toán học. Cụ thể, mệnh đề “This statement cannot be proved” đã trở thành mệnh đề logic toán học sau đây:

Đó chính là một mệnh đề toán học không thể chứng minh, vì bản chất nó là một mệnh đề tự quy chiếu, chứa đựng mâu thuẫn. Sự tồn tại của mệnh đề đó trong logic toán học tự nó đã chỉ ra rằng trong toán học tồn tại những mệnh đề không thể quyết định được (undecidable statements) – hoặc mâu thuẫn, hoặc không thể chứng minh.

Có thể chỉ ra hàng loạt mệnh đề tương tự, chẳng hạn mệnh đề “I am a liar” (Tôi là kẻ nói dối) do nhà triết học cổ Hy-lạp Epimenides đã khám phá ra từ thời cổ đại. Từ đó Gödel kết luận rằng trong toán học tồn tại những mệnh đề không thể quyết định được. Kết luận này tự động bác bỏ tuyên bố đầy tự phụ của David Hilbert, “We must know; We will know” (Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết). Từ đó suy ra “Chương trình Hilbert” hay “Chủ nghĩa hình thức của Hilbert” chỉ là ảo tưởng, vì chương trình này và chủ nghĩa này có tham vọng tìm ra một hệ thống toán học tuyệt đối phi mâu thuẫn và đầy đủ – chứng minh được bất kỳ một mệnh đề toán học nào.

Không lâu sau đó, người ta đã chỉ ra rằng “Giả thuyết Continuum” do Georg Cantor nêu lên từ cuối thế kỷ 19 chính là một mệnh đề toán học không thể quyết định được (điều này sẽ được đề cập lại trong một bài báo khác).

Tiếc thay, cho tới hôm nay vẫn có rất nhiều giáo viên dạy toán sính chủ nghĩa hình thức đến nỗi họ tôn thờ nó như một thứ “toán học chân chính” (!), thích trình bày những vấn đề đơn giản thành phức tạp, thích sử dụng ngôn ngữ hình thức “bác học hàn lâm” để mô tả những khái niệm toán học thông thường, làm cho học trò sợ hãi và chán ngấy môn toán. Tôi cho rằng những giáo viên này thực chất là kém trực giác và không hiểu bản chất của toán học. Ngày xưa người ta gọi đám trí thức này là “hủ nho”, thích khoe khoang chữ nghĩa nhưng thực chất rỗng tuếch, chỉ giỏi thuộc lòng sách vở mà chẳng hiểu gì bản chất những điều mình dạy.

Bình Luận 6: Bài báo “Waiting for Gödel” cũng không đề cập đến tư duy triết học của Gödel. Thực ra, để hiểu sâu tư tưởng và bản chất của Định lý Bất toàn, nên biết rõ tư tưởng triết học của Gödel. Tôi cho rằng Gödel đã cảm thấy, trực giác thấy, hình dung thấy, mường tượng thấy cái bất toàn (imperfectness / incompleteness) trước khi chứng minh định lý bất hủ của ông ─ trực giác nhạy bén của ông về cái bất toàn đã xuất hiện trong bộ não của ông trước khi ông phát biểu và chứng minh nó dưới dạng định lý toán học. Nói cách khác, triết học của ông về tính bất toàn của logic nhận thức đã đi trước và trở thành ngọn đèn soi đường để ông đi tới điểm tận cùng, đó là Định lý Bất toàn. Vậy sẽ là hợp lý nếu bổ sung cho bài báo “Waiting for Gödel” vài tuyên bố của chính Gödel thể hiện quan điểm của ông về triết học nhận thức:

  • “Không thể chứng minh mọi thứ được” (To prove everything is impossible)
  • “Ý nghĩa của thế giới là sự phân biệt ước muốn với hiện thực” (The meaning of the world is the separation between wish and fact).

Vì không hiểu những triết lý đó nên các nhà toán học đầu thế kỷ 20, dẫn đầu bởi David Hilbert, mới lao vào xây dựng Siêu Toán học (Meta-mathematics), một thứ toán học phán xét chính toán học, với hy vọng tạo nên một thiên đường toán học tuyệt đối phi mâu thuẫn, cho phép chứng minh hoặc phủ nhận bất kỳ một mệnh đề toán học nào. Định lý Gödel đã đập tan tham vọng của Siêu toán học. Thực tế Siêu toán học đã chết về mặt triết học từ năm 1931, và chết thực sự theo nghĩa đen vào khoảng giữa thế kỷ 20 vì không còn ai đi theo lý tưởng của nó nữa, trừ vài thầy cô giáo dạy toán không chịu nghiên cứu nên cứ tưởng toán học hình thức là “sang trọng” và “chân chính”. Thực ra toán học hình thức có giá trị rất lớn, nhưng chỉ trong những phạm vi thích hợp với nó, đặc biệt trong khoa học computer, thay vì trở thành ngôn ngữ phổ quát mà mọi người cần biết.

Cũng vì không biết Định lý Gödel nên vật lý học thế kỷ 20 mới có tham vọng khám phá ra “Lý thuyết về Mọi thứ” (TOE – Theory of Everything). Nhưng Stephen Hawking, sau khi thấm nhuần Định lý Gödel, đã công khai bày tỏ quan điểm mới, cho rằng TOE khó có thể trở thành hiện thực. Thực tế là sau vài chục năm, TOE vẫn không sao hợp nhất được Thuyết Tương đối tổng quát với Cơ học lượng tử. Để hiểu rõ vấn đề này, xin đọc:

–  “Lý thuyết về mọi thứ, một lý thuyết khó đạt được”, Stephen Hawking, Scientific American, bản dịch của Phạm Việt Hưng, Khoa học & Tổ quốc Tháng 03/2012

–  “Gödel và sự kết thúc của vật lý”, Stephen Hawking, bản dịch của Phạm Việt Hưng trên Khoa học & Tổ quốc Tháng 04/2012

Và dường như hoàn toàn không hay biết gì về Định lý Gödel nên các nhà tiến hóa vẫn lao vào việc chứng minh Thuyết tiến hóa Darwin là một khoa học thực sự và sự tiến hóa là một hiện thực của sự sống. Nhưng sau hơn 150 năm, họ chỉ đi từ thất bại này đến thất bại khác, và mỗi lần thất bại họ lại nêu lên một giả thuyết mới, hết giả thuyết này đến giả thuyết khác, để vá chữa cho những lỗ hổng to lớn của giả thuyết trước đó, và cho đến nay vẫn không có một bằng chứng thuyết phục nào cho các giả thuyết của mình. Vì thế, nhận định của Peter O’Hearn, giám đốc kỹ thuật của Facebook và giáo sư tại Đại học College London, người đồng nhận giải Gödel năm 2016, mà bài báo “Waiting for Gödel” đã dẫn, có thể xem như một lời khuyên đặc biệt có ý nghĩa đối với các nhà tiến hóa, rằng “Định lý Gödel… giúp chúng ta tìm ra những câu trả lời đúng, nhưng không phải tất cả các câu trả lời đúng. Đó là một điều tích cực, bởi vì nó làm cho tôi không cố gắng làm những điều NGU NGỐC (stupid things), không cố gắng làm những điều BẤT KHẢ (impossible things)”.

KẾT LUẬN

Bài báo “Waiting for Gödel” không có chỗ nào nói rõ chúng ta đang chờ đợi điều gì ở Gödel. Phải chăng tác giả nghĩ rằng điều đó đã tự động được nói ra từ những câu chuyện trong bài báo? Nếu đúng như vậy thì đây cũng là một thách đố, bởi với những người chưa có điều kiện tìm hiểu kỹ về Gödel thì không dễ gì để sau một bài báo có thể đo lường được chính xác ý nghĩa sâu xa của Định lý Gödel, để biết rằng chúng ta chờ đợi điều gì ở Gödel trong tương lai. Vậy xin có đôi lời chia sẻ sau đây như một sự bổ sung cho bài báo.

Sau nhiều năm say mê tìm hiểu Gödel và Định lý Bất toàn, tôi thấy tài sản trí tuệ Gödel để lại cho chúng ta quá lớn. Còn quá nhiều hệ luận cần khai thác từ định lý của ông. Đó là những kho báu ông để lại không chỉ cho toán học, mà còn cho rất nhiều lĩnh vực khác, đặc biệt là khoa học computer, và thậm chí triết học, thần học, siêu hình học thế kỷ 21.

Những kho báu đó có thể sẽ dẫn chúng ta tới những chân trời mới bất ngờ không thể lường trước. “Chờ đợi Gödel”, có lẽ tác giả muốn nói chúng ta có thể chờ đợi nhiều khám phá kỳ diệu mới sẽ bùng nổ trong thế kỷ 21 này.

Chẳng hạn, xuất phát từ Định lý Gödel và áp dụng những phương pháp nghiên cứu mới mà ông đã đề xuất và đã đi tiên phong – phương pháp tiên đề và logic toán học – nhân loại có thể xây dựng một thứ triết học khoa học chính xác (a scientific and exact philosophy), cho phép giải quyết những vấn đề siêu hình, vượt ra khỏi phạm vi thế giới vật chất, nơi khoa học thuần túy vật chất như vật lý, hóa học, sinh học bất lực.

Thí dụ như áp dụng phương pháp tiên đề và logic toán học để xây dựng một hệ thống lý thuyết về thế giới ý thức – một thế giới của thông tin, thay vì vật chất. Để làm việc đó, hãy học cách Gödel chứng minh sự hiện hữu của Thượng đế. Đến nay, chưa ai dám lên tiếng bác bỏ chứng minh này của ông.

Và có thể còn có nhiều thứ khác nữa, khó đoán trước được, hãy “Chờ đợi Gödel” !

Tác giả: GS Phạm Việt Hưng.
Đăng tải với sự cho phép.

Từ Khóa: